Pembahasan soal simulasi CAT BKN 2018 bagian TIU (Part 2)

Halo semua...gimana kabarnya??
Semoga baik-baik saja ya.😊😊

Ok, pada postingan kali ini saya akan melanjutkan pembahasan mengenai penyelesaian soal simulasi CAT BKN untuk bagian TIU (part 1) pada postingan sebelumnya. Jika belum melihat postingan tersebut silakan ke laman ini ya.

Dan bagi yang belum punya akun simulasi CAT BKN ayo segera daftar, lumayan buat persiapan.
Untuk melakukan pendaftaran akun silakan berkunjung ke sini.

Baik...tanpa berlama-lama kita mulai pembahasannya ya.
Berikut soalnya.

Ok, kita mulai dari..
Soal Nomor 36
Diketahui ada tiga orang $A$, $B$, dan $C$ yang saling pinjam meminjam kelereng. Di akhir pinjam meminjam itu diketahui jumlah kelereng ketiganya sama yaitu masing-masing memiliki 16 kelereng. Yang ditanyakan adalah berapa jumlah kelereng $B$ mula-mula.

Solusi
Kita misalkan jumlah mula-mula kelerang $A$, $B$, dan $C$ masing-masing adalah $J_A$, $J_B$, dan $J_C$.
Diketahui $A$ meminjamkan sejumlah kelereng kepada $B$ dan $C$ sehingga jumlah kelereng $B$ dan $C$ menjadi dua kali lipat jumlah kelereng sebelumnya.

Kita misalkan jumlah kelereng yang dipinjamkan oleh $A$ adalah $x$, maka kita peroleh
$\bullet$ Jumlah kelereng $A$ menjadi $(J_A-x)$
$\bullet$ Jumlah kelereng $B$ menjadi $2J_B$
$\bullet$ Jumlah kelereng $C$ menjadi $2J_C$

Selanjutnya..

Diketahui setelah $A$ meminjamkan kelereng, yang selanjutnya meminjamkan kelereng adalah $B$ kepada $A$ dan $C$ sehingga jumlah kelereng $A$ dan $C$ menjadi dua kali lipat jumlah kelereng sebelumnya.

Kita misalkan jumlah kelereng yang dipinjamkan oleh $B$ adalah $y$, maka kita peroleh hubungan seperti berikut\[y+[(J_A-x)+2J_C)]=2(J_A-x)+2(2J_C)\]\[\Rightarrow y=(J_A-x)+2J_C....(*)\]dan
$\bullet$ Jumlah kelereng $A$ menjadi $2(J_A-x)$
$\bullet$ Jumlah kelereng $B$ menjadi $(2J_B-y)$
$\bullet$ Jumlah kelereng $C$ menjadi $4J_C$

Kemudian, setelah $A$ dan $B$ meminjamkan kelereng, giliran $C$ yang meminjamkan kelereng kepada $A$ dan $B$ sehingga jumlah kelereng $A$ dan $B$ menjadi dua kali lipat jumlah kelereng sebelumnya.

Kita misalkan jumlah kelereng yang dipinjamkan oleh $C$ adalah $z$, maka kita peroleh hubungan seperti berikut\[z+[2(J_A-x)+(2J_B-y)]=2(2(J_A-x))+2(2J_B-y)\]\[\Rightarrow z=2(J_A-x)+(2J_B-y)....(**)\]dan
$\bullet$ Jumlah kelereng $A$ menjadi $4(J_A-x)$
$\bullet$ Jumlah kelereng $B$ menjadi $2(2J_B-y)$
$\bullet$ Jumlah kelereng $C$ menjadi $(4J_C-z)$

Dari uraian di atas kita peroleh bahwa jumlah akhir kelereng $A$, $B$, dan $C$ setelah pertukaran adalah masing-masing $4(J_A-x)$, $2(2J_B-y)$, dan $(4J_C-z)$.
Karena diketahui bahwa jumlah akhir kelereng ketiganya setelah proses pinjam meminjam adalah sama yaitu 16 kelereng, maka kita peroleh
\[4(J_A-x)=16\Rightarrow (J_A-x)=4\]\[2(2J_B-y)=16 \Rightarrow (2J_B-y)=8\]\[(4J_C-z)=16\]Selanjutnya, karena $(J_A-x)=4$ dan $(2J_B-y)=8$ serta dari $(**)$ maka kita peroleh
\begin{eqnarray}
z&=&2(J_A-x)+(2J_B-y)\\
&=&2\cdot 4+8\\
&=&8+8\\
&=&16
\end{eqnarray}
Jadi, diperoleh $z=16$.
Kemudian, karena $z=16$ dan $(4J_C-z)=16$ maka kita peroleh
\begin{eqnarray}
4J_C-z&=&16\\
\Rightarrow 4J_C&=&16+z\\
&=&16+16\\
&=&32\\
\Rightarrow J_C&=&8
\end{eqnarray}
Jadi, diperoleh $J_C=8$.
Selanjutnya, karena $J_C=8$ dan $(J_A-x)=4$ serta dari $(*)$ maka kita peroleh
\begin{eqnarray}
y&=&(J_A-x)+2J_C\\
&=&4+2\cdot 8\\
&=&4+16\\
&=&20
\end{eqnarray}
Jadi, diperoleh $y=20$.
Kemudian, karena $y=20$ dan $(2J_B-y)=8$ maka kita peroleh
\begin{eqnarray}
2J_B-y&=&8\\
2J_B&=&8+y\\
&=&8+20\\
&=&28\\
\Rightarrow J_B&=&14
\end{eqnarray}
Jadi, jumlah kelereng $B$ mula-mula adalah $14$, sehingga jawaban yang benar adalah opsi D.

Well...penyelesaiannya agak panjang ya. hehe...
Tapi tenang, untuk soal ini kita bisa gunakan formula khusus berikut
\[J_A=\frac{13}{8}a\]\[J_B=\frac{7}{8}a\]\[J_C=\frac{1}{2}a\]dengan $a$ adalah jumlah akhir kelereng setelah proses pinjam meminjam dilakukan.

Contoh..
Di soal ini nilai $a=16$, maka jumlah kelereng $A$, $B$, dan $C$ mula-mula adalah
\[J_A=\frac{13}{8}a=\frac{13}{8}\cdot 16=\frac{13}{8}\cdot 2\cdot 8=13\cdot 2=26\]\[J_B=\frac{7}{8}a=\frac{7}{8}\cdot 16=\frac{7}{8}\cdot 2\cdot 8=7\cdot 2=14\]\[J_C=\frac{1}{2}a=\frac{1}{2}\cdot 16=8\]Bagaimana??
lebih mudah kan?😉😉

Satu hal lagi,
dari formula di atas nilai $a$ boleh bilangan apa saja ya, jadi jika nanti di soalnya diketahui nilai $a=24$ atau yang lainnya maka cukup masukkan nilai $a$ ini ke formula seperti contoh tadi, kita akan langsung mendapatkan jumlah mula-mula kelereng ketiganya.


Ok, Next..
Soal Nomor 38
Diketahui $A$ dan $B$ adalah bilangan bulat dan $A/B=37$ serta $A-B=216$.
Yang ditanyakan adalah nilai $B^2$.

Solusi
Diperhatikan bahwa
\[A/B=37 \Rightarrow A=37B\]Karena $A-B=216$, maka
\[A-B=216\]\[\Rightarrow 37B-B=216\]\[\Rightarrow 36B=216\]\[\Rightarrow B=6\]Karena $B=6$, maka
\[B^2=6^2=36\]Jadi, nilai $B^2$ adalah $36$, yaitu pada opsi A.

gampang ya? hhehe....


Ok, soal selanjutnya..
Soal Nomor 40
Di soal ini diketahui ada dua premis yaitu:
$\bullet$ Premis 1: Jika saya pintar maka saya menjadi dokter.
$\bullet$ Premis 2: Jika saya menjadi dokter maka saya membuat resep obat.
Yang ditanyakan adalah kesimpulan dari kedua premis ini.

Solusi
Kita misalkan seperti berikut.
$\bullet$ Premis 1: $p\Rightarrow q$, dengan $p$ adalah "saya pintar" dan $q$ adalah "saya menjadi dokter".
$\bullet$ Premis 2: $q\Rightarrow r$, dengan $q$ adalah "saya menjadi dokter" dan $r$ adalah "saya membuat resep obat".

Nah, dalam logika matematika kesimpulan dari premis..
\[p\Rightarrow q\]\[q\Rightarrow r\]adalah \[p\Rightarrow r\] Jadi, karena $p$ adalah "saya pintar" dan $r$ adalah "saya membuat resep obat", maka kesimpulannya adalah
\[\text{"Jika saya pintar maka saya membuat resep obat" }\]yaitu pada opsi D.


Soal berikutnya.
Soal Nomor 47
Diketahui jumlah 5 suku pertama dari suatu deret aritmatika adalah 20. Kemudian jika suku ke-1, ke-2, ke-4, dan ke-5 masing-masing dikurangi dengan suku ke-3 maka hasil perkalian ke empat suku ini adalah 324.
Yang ditanyakan adalah jumlah 8 suku pertama dari deret ini.

Solusi
Untuk menyelesaikan soal ini, kita harus tahu formula umum yang ada pada deret aritmatika.
Berikut formulanya
\[U_n=U_1+(n-1)b\]\[S_n=\frac{n}{2}(2U_1+(n-1)b)\]dengan $U_n$ menyatakan suku ke-n, dan $S_n$ menyatakan jumlahan dari suku pertama sampai suku ke-n.

Diperhatikan dari formula umum di atas bahwa untuk mencari jumlah 8 suku pertama dari deret ini yang kita butuhkan adalah $U_1$ dan $b$. Jadi, yang pertama kita lakukan adalah mencari nilai $U_1$ dan $b$ ini.

Nah, karena diketahui dari soal bahwa suku ke-1, ke-2, ke-4, dan ke-5 masing-masing dikurangi dengan suku ke-3 dan hasil perkalian ke empat suku ini adalah 324, maka kita dapatkan hasil seperti berikut..
\[U_1-U_3=U_1-(U_1+2b)=-2b\]\[U_2-U_3=(U_1+b)-(U_1+2b)=-b\]\[U_4-U_3=(U_1+3b)-(U_1+2b)=b\]\[U_5-U_3=(U_1+4b)-(U_1+2b)=2b\]Catatan: Selisih antara suku dapat juga diperoleh dengan menggunakan formula berikut
\[U_n-U_k=(n-k)b\]dan
\[(U_1-U_3)\cdot (U_2-U_3)\cdot (U_4-U_3)\cdot (U_5-U_3)=324\]\[\Rightarrow (-2b)\cdot (-b)\cdot (b)\cdot (2b)=324\]\[\Rightarrow 4b^4=324\]\[\Rightarrow b^4=81\]\[\Rightarrow b=\pm{3}\]Jadi, diperoleh $b=\pm{3}$.

Selanjutnya,
diketahui bahwa jumlah 5 suku pertama dari deret ini adalah 20, maka dari formula umum dan dengan nilai $b=\pm{3}$ kita peroleh
\begin{eqnarray}
S_5&=&\frac{5}{2}(2U_1+(5-1)b)\\
\Rightarrow 20&=&\frac{5}{2}(2U_1+4\cdot 3)\\
\Rightarrow 20&=&5\cdot (U_1+2\cdot 3)\\
\Rightarrow 4&=&(U_1+6)\\
\Rightarrow U_1&=&-2\\
\end{eqnarray}
atau
\begin{eqnarray}
S_5&=&\frac{5}{2}(2U_1+(5-1)b)\\
\Rightarrow 20&=&\frac{5}{2}(2U_1+4\cdot (-3))\\
\Rightarrow 20&=&5\cdot (U_1+2\cdot (-3))\\
\Rightarrow 4&=&(U_1-6)\\
\Rightarrow U_1&=&10\\
\end{eqnarray}
Jadi, untuk $b=3$ diperoleh $U_1=-2$, dan untuk $b=-3$ diperoleh $U_1=10$.

Sekarang, karena $U_1$ dan $b$ sudah diketahui maka kita sudah bisa menentukan jumlah 8 suku pertama deret ini, yaitu
\begin{eqnarray}
S_8&=&\frac{8}{2}(2U_1+(8-1)b)\\
&=&4\cdot (2\cdot (-2)+7\cdot 3)\\
&=&4\cdot (-4+21)\\
&=&4\cdot 17\\
&=&68\\
\end{eqnarray}
atau
\begin{eqnarray}
S_8&=&\frac{8}{2}(2U_1+(8-1)b)\\
&=&4\cdot (2\cdot 10+7\cdot (-3))\\
&=&4\cdot (20-21)\\
&=&4\cdot (-1)\\
&=&-4\\
\end{eqnarray}
Jadi, diperoleh jumlah 8 suku pertama dari deret ini adalah $-4$ atau $68$, yaitu pada opsi E.

Sebagai catatan, supaya menghemat waktu kita tidak perlu menggunakan kedua nilai $b$, cukup pilih salah satu dari $b=3$ atau $b=-3$, jadi nantinya kita cuma mendapatkan satu nilai $U_1$ dan $S_8$.

Contoh, misalnya saja tadi kita cuma pilih $b=3$, maka kita peroleh $U_1=-2$ dan $S_8=68$. Kita lihat di opsi, satu-satunya yang memiliki nilai $68$ adalah pada opsi E. Jadi, langsung saja kita simpulkan bahwa jawaban yang benar adalah opsi E.

Biasanya untuk soal seperti ini memang begitu. Tetapi jika memang ada yang sama nilainya, maka tidak ada cara lain selain mencari kedua nilainya.

bagaimana??
solusinya cukup panjang??

Ok, untuk lebih memperpendek langkah di atas saya akan berikan formula khusus untuk jumlahan suatu deret aritmatika. Berikut formulanya
\[S_n=\frac{n}{2}(\frac{2}{k}S_k+(n-k)b),\ n\geq k\]Jadi, setelah mendapatkan nilai $b$, kita sudah tidak perlu lagi mencari nilai $U_1$, langsung saja gunakan formula tadi untuk mendapatkan jumlahan 8 suku pertama dari deret tersebut, seperti ini
\begin{eqnarray}
S_8&=&\frac{8}{2}(\frac{2}{5}S_5+(8-5)3)\\
&=&4\cdot (\frac{2}{5}\cdot 20+3\cdot 3)\\
&=&4\cdot (8+9)\\
&=&4\cdot 17\\
&=&68
\end{eqnarray}
atau
\begin{eqnarray}
S_8&=&\frac{8}{2}(\frac{2}{5}S_5+(8-5)(-3))\\
&=&4\cdot (\frac{2}{5}\cdot 20+3\cdot (-3))\\
&=&4\cdot (8-9)\\
&=&4\cdot (-1)\\
&=&-4
\end{eqnarray}
Jadi, sekarang sudah lebih pendek kan??😁😁


Baik, kita ke soal yang terakhir.
Soal Nomor 59
Di soal ini diketahui suatu barisan angka, yaitu
\[24\ \ \ 12\ \ \ 6\ \ \ 8\ \ \ 4\ . . .\]Kemudian, yang ditanyakan adalah dua suku selanjutnya dari barisan tersebut.

Solusi
Untuk mencari dua suku selanjutnya dari barisan angka ini adalah dengan mencari pola barisan tersebut.

Diperhatikan bahwa
$\bullet$ Hubungan antara $24$ dengan angka selanjutnya yaitu $12$, adalah $12$ diperoleh dengan membagi $24$ dengan dua.
$\bullet$ Hubungan antara $12$ dengan angka selanjutnya yaitu $6$, adalah juga $6$ diperoleh dengan membagi $12$ dengan dua.
$\bullet$ Hubungan antara $6$ dengan angka selanjutnya yaitu $8$, adalah $8$ diperoleh dengan menambahkan $6$ dengan dua.
$\bullet$ Hubungan antara $8$ dengan angka selanjutnya yaitu $4$, adalah $4$ diperoleh dengan membagi $8$ dengan dua.

Nah, dari hasil ini kita peroleh pola seperti berikut
\[24\ \ \underrightarrow{:2}\ \ 12\ \ \underrightarrow{:2}\ \ 6\ \ \underrightarrow{+2}\ \ 8\ \ \underrightarrow{:2}\ \ 4\ \  \underrightarrow{:2}\ ... \underrightarrow{+2}\ ...\]Sehingga kita peroleh dua suku selanjutnya dari barisan tersebut seperti berikut
\[24\ \ \underrightarrow{:2}\ \ 12\ \ \underrightarrow{:2}\ \ 6\ \ \underrightarrow{+2}\ \ 8\ \ \underrightarrow{:2}\ \ 4\ \  \underrightarrow{:2}\ \ 2\ \ \underrightarrow{+2}\ \ 4\]Jadi, dua suku selanjutnya dari barisan tersebut adalah 2 dan 4, yaitu pada opsi D.


Ok, itu saja dulu untuk postingan kali ini.
Mudah-mudahan dapat dipahami dan ada manfaatnya.

Akhir kata,
Terima kasih untuk perhatiannya
and
Sampai ketemu di postingan selanjutnya.
Wassalam....🙏🙏