Pembahasan soal latihan 1.2 No.12,14,17 dan 20: Buku "Introduction to Real Analysis" karangan R.G. Bartle edisi ke-4

Haloo semua...bagaimana kabarnya??
Semoga kita semua sehat-sehat saja ya. Aamiin....☺☺
Ok, pada postingan kali ini saya akan melanjutkan pembahasan penyelesaian soal latihan 1.2 pada buku "Introduction to Real Analysis" karangan Robert G. Bartle. Nah, di postingan ini saya akan membahas soal nomor 12, 14, 17, dan 20.
Berikut soalnya..

  

  

Baik, kita mulai pembahasannya.

Soal yang pertama.
Soal Nomor 12
Buktikan Prinsip Induksi Matematika 1.2.3 (versi kedua).

Solusi
Prinsip Induksi Matematika 1.2.3:

   "Diberikan $n_0\in \mathbb{N}$.

    Jika: $(1)$ $P(n_0)$ benar

              $(2)$ $\forall k\geq n_0$, jika $P(k)$ benar maka $P(k+1)$ juga benar

    maka $P(n)$ benar untuk setiap $n\geq n_0,\ n\in \mathbb{N}$"

Bukti.

Dibentuk himpunan
\[S'=\{n\in \mathbb{N}: n\geq n_0\}\]Karena diketahui $n_0\in \mathbb{N}$ dan $n_0\geq n_0$ maka diperoleh $n_0\in S'$, artinya $S'\neq \{\}$.
Selanjutnya,
kembali dibentuk himpunan $S''\subseteq S'$ dengan
\[S''=\{n\in S': P(n) \text{ benar}\}\]Karena $n_0\in S'$ dan diketahui $P(n_0)$ benar maka diperoleh $n_0\in S''$, artinya $S''\neq \{\}$.
Kemudian,
diperhatikan bahwa $\forall k\in S'$, jika $k\in S''$ maka dari pendefinisian $S''$ diperoleh $P(k)$ benar, dan karena $P(k)$ benar maka dari yang diketahui diperoleh $P(k+1)$ juga benar. Kemudian, karena $P(k+1)$ benar dan $k+1\in S'$ maka disimpulkan bahwa $k+1\in S''$.
Jadi, himpunan $S''$ memenuhi:
     $(1)$ $n_0\in S''$
     $(2)$ $\forall k\in S'$, jika $k\in S''$ maka $(k+1)\in S''$.
Selanjutnya, akan ditunjukkan bahwa $S''=S'$.
Diandaikan $S''\neq S'$, maka berdasarkan sifat urutan terdapat $m$ elemen terkecil dari $S'\setminus S''$.
Karena $m\in S'\setminus S''$ akibatnya $m\notin S''$, dan karena $n_0\in S''$ maka diperoleh $m\neq n_0$.
Kemudian, karena $m\neq n_0$ dan $m\in S'$ maka diperoleh $m>n_0$, akibatnya $m-1\geq n_0$.
Karena $m-1\geq n_0$, maka dari pendefinisan $S'$ diperoleh $m-1\in S'$, dan karena $m$ adalah elemen terkecil dari $S'\setminus S''$ serta $m-1<m$ maka disimpulkan $m-1\in S''$.
Selanjutnya, karena $m-1\in S''$ dan dari $(2)$ maka
\[m=(m-1)+1\in S''\]Jadi, diperoleh $m\in S''$. Tetapi ini kontradiksi dengan hasil sebelumnya yaitu $m\notin S''$.
Ini berarti, pengandaian kita bahwa $S''\neq S'$ adalah salah.
Jadi, kita simpulkan bahwa $S''=S'$.
Karena $S''=S'$, maka dari pendefinisan $S'$ dan $S''$ kita peroleh
\[P(n) \text{ benar untuk setiap } n\geq n_0,\ n\in \mathbb{N}\]Dari hasil ini, kita telah berhasil membuktikan Prinsip Induksi Matematika 1.2.3 (versi kedua).

Ok, kita ke soal berikutnya.
Soal Nomor 14
Tunjukkan bahwa
\[2^n<n!\text{ untuk setiap } n\geq 4,\ n\in \mathbb{N}\]
Solusi
$\bullet$ Pertama, akan ditunjukkan benar untuk $n=4$.
Untuk $n=4$ diperoleh
\[2^4=16<24=4!\]Jadi, kita peroleh benar untuk $n=4$.

$\bullet$ Selanjutnya, diasumsikan benar untuk $n=k\in \mathbb{N}$, yaitu\[2^k<k!\ \ ....(*)\]kemudian akan ditunjukkan bahwa juga benar untuk $n=k+1$, yaitu
\[2^{k+1}<(k+1)!\]Bukti.
Untuk $n=k+1$ dan dari $(*)$ diperoleh
\begin{eqnarray}
2^{k+1}&=&2\cdot 2^k\\
&<&2\cdot k!\\
&<&(k+1)\cdot k! \ \ \ \ \ [k\geq 4]\\
&=&(k+1)!
\end{eqnarray}
Jadi, kita peroleh juga benar untuk $n=k+1$.
Dari uraian di atas kita simpulkan bahwa
\[2^n<n!\text{ untuk setiap } n\geq 4,\ n\in \mathbb{N}\]

Soal selanjutnya.
Soal Nomor 17
Tentukan bilangan terbesar $m$ sedemikian sehingga $n^3-n$ habis dibagi oleh $m$ untuk setiap $n\in \mathbb{N}$. Buktikan pernyataan anda.

Solusi
Bilangan terbesar yang membagi habis $n^3-n$ untuk setiap $n\in \mathbb{N}$ adalah $m=6$.
Bukti
$(1)$ Akan ditunjukkan bahwa $6$ membagi habis $n^3-n$ untuk setiap $n\in \mathbb{N}$.
$\bullet$ Pertama, ditunjukkan benar untuk $n=1$.
Untuk $n=1$ diperoleh
\[1^3-1=0\]Jelas bahwa $6$ membagi habis $0$.
Jadi, kita peroleh benar untuk $n=1$.

$\bullet$ Selanjutnya, diasumsikan benar untuk $n=k\in \mathbb{N}$, yaitu\[6|k^3-k\Rightarrow k^3-k=6t,\ t\in \mathbb{N}\ \ ....(*)\]\[(\text{tanda "|" artinya adalah membagi habis})\]kemudian akan ditunjukkan bahwa juga benar untuk $n=k+1$, yaitu
\[6|(k+1)^3-(k+1)\]Bukti.
Untuk $n=k+1$ dan dari $(*)$ diperoleh
\begin{eqnarray}
(k+1)^3-(k+1)&=&(k+1)((k+1)^2-1)\\
&=&(k+1)(k^2+2k)\\
&=&(k+1)k(k+2)\\
&=&k(k+1)((k-1)+3)\\
&=&k(k-1)(k+1)+3k(k+1)\\
&=&k(k^2-1)+3k(k+1)\\
&=&(k^3-k)+3k(k+1)\\
&=&(k^3-k)+3k(k+1)\\
&=&6t+3(2l)\ \ \ \ \ \ \ \ [2|k(k+1)\Rightarrow k(k+1)=2l,\ l\in \mathbb{N}]\\
&=&6t+6l\\
&=&6(t+l)
\end{eqnarray}
Jadi, kita peroleh juga benar untuk $n=k+1$.
Dari uraian di atas kita simpulkan bahwa
\[6 \text{ membagi habis } n^3-n \text{ untuk setiap } n\in \mathbb{N}\]
$(2)$ Akan ditunjukkan bahwa $6$ yang terbesar yang membagi habis $n^3-n,\ \forall n\in \mathbb{N}$.
Bukti.
Diandaikan bukan $6$ yang terbesar, yaitu terdapat $r\in \mathbb{N},\ r>6\ni$
\[r|n^3-n,\ \forall n\in \mathbb{N}\]Dipilih $n=2$, diperoleh
\[2^3-2=6\]Tetapi karena $r>6$, akibatnya $r$ tidak membagi habis $6$.
Jadi, disimpulkan bahwa $6$ yang terbesar yang membagi habis $n^3-n,\ \forall n\in \mathbb{N}$.

Soal yang terakhir.
Soal Nomor 20
Diberikan $x_n$ yang didefinisikan sebagai berikut
\[x_1=1,\ x_2=2,\ \text{dan }\ x_{n+2}=\frac{1}{2}(x_{n+1}+x_n),\ \forall n\in \mathbb{N}\]Tunjukkan dengan menggunakan induksi kuat (1.2.5) bahwa $1\leq x_n\leq 2, \forall n\in \mathbb{N}$.

Solusi
$\bullet$ Pertama, ditunjukkan benar untuk $n=1$.
Untuk $n=1$ diperoleh
\[1\leq x_1=1\leq 2\]Jadi, kita peroleh benar untuk $n=1$.

$\bullet$ Selanjutnya, diasumsikan benar untuk $n=\{1,2,...,k\}\ \ ....(*)$ [induksi kuat]
Kemudian akan ditunjukkan bahwa juga benar untuk $n=k+1$, yaitu
\[1\leq x_{k+1}\leq 2\]Bukti.
Diperhatikan bahwa
\[x_{k+1}=\frac{1}{2}(x_{k}+x_{k-1})\]Dari (*), maka diperoleh
\begin{eqnarray}
x_{k+1}&=&\frac{1}{2}(x_{k}+x_{k-1})\\
&\geq&\frac{1}{2}(1+1)\\
&=&1
\end{eqnarray}
dan
\begin{eqnarray}
x_{k+1}&=&\frac{1}{2}(x_{k}+x_{k-1})\\
&\leq&\frac{1}{2}(2+2)\\
&=&2
\end{eqnarray}
Jadi, kita peroleh juga benar untuk $n=k+1$.
Dari uraian di atas kita simpulkan bahwa
\[1\leq x_n\leq 2, \forall n\in \mathbb{N}\]


Baik, itu saja untuk postingan kali ini.
Mudah-mudahan dapat dipahami dan ada manfaatnya.

Untuk melihat pembahasan nomor sebelumnya untuk latihan 1.2 ini, silahkan berkunjung ke sini, dan untuk pembahasan latihan selanjutnya (latihan 1.3) silahkan lihat di sini.

Akhir kata,
Terima kasih untuk perhatiannya
and
Sampai ketemu di postingan selanjutnya.
Wassalam....🙏🙏