Cara cepat menyelesaikan soal berbentuk "Akar dalam Akar" yang berulang

Halo... Makasih sudah berkunjung ke blog saya.😊😊

Sesuai judulnya, pada postingan pertama ini saya akan membahas cara cepat untuk menyelesaikan soal yang  berbentuk seperti ini:
                                                                 $\sqrt{a+b\sqrt{a+b\sqrt{a+b\sqrt{...}}}}=...?$ $a\geq0$, $b\neq0$.

ada yang pernah lihat (tentu saja maksud saya selain dari postingan ini ya. hehe...)?
Yup, soal bentuk seperti ini biasanya muncul di soal-soal TPA (Tes Potensi Akademik).

Di sini saya tidak akan membahas apa itu TPA ya, saya asumsikan semua sudah tau (saya yakin pasti tau lah.😃😃)
Saya membahas ini dan memilih jadi postingan pertama karena sekarang sudah mulai musim duren lagi.. eh, maksudnya musim Penerimaan PNS. hehe...

Jadi, saya harap postingan ini bisa membantu teman-teman sekalian dalam mempersiapkan tes PNS-nya nanti, dan bagi yang tidak ikut tes PNS, mudah-mudahan membantu dalam tes masuk perusahaan maupun tes yang lainnya.

Penting: Untuk postingan selanjutnya, saya akan membahas lagi beberapa soal TPA yang juga punya cara singkat untuk penyelesaiannya.

Kay.. kembali ke topik ya.

Contoh, misalnya saja kita pilih $a=3$ dan $b=2$, maka bentuk akarnya jadi seperti ini:

                                                                 $\sqrt{3+2\sqrt{3+2\sqrt{3+2\sqrt{...}}}}=...?$

Menurut kalian kira-kira hasilnya berapa?
Saya yakin pasti di antara pembaca ada yang sudah tau cara menyelesaikannya, tapi mungkin juga ada yang belum tau.

Betul... jawabannya $3$.

                                                                 $\sqrt{3+2\sqrt{3+2\sqrt{3+2\sqrt{...}}}}=3$

Nah, sekarang kita sudah masuk pembahasan utama kita.
Cara singaktnya begini.

Fokus kita ada pada nilai $a$ dan $b$.
kita cari 2 angka yang kalau dikalikan dapat $a=3$ sedangkan selisihnya dapat $b=2$.

Good... 2 angka yang dimaksud adalah $3$ dan $1$ ($3*1=$$3=a$ dan $3-1=$$2=b$).

Nah, selanjutnya kita perhatikan tanda si $b$ (positif atau negatif).
Kalau 'positif', maka jawabannya adalah yang paling besar dari keduanya ($3$ dan $1$) yaitu $3$, kalo 'negatif' jawabannya yang paling kecil yaitu $1$.

Karena tanda si $b$ ini 'positif' ($b=2$), so jawabannya adalah $3$.
Done...
Gampang kan....?😎😎😎

Kita lanjut ya...

Seperti yang saya katakan tadi,
Klo tanda si $b$ adalah 'negatif' ($b=-2$), maka jawabannya adalah $1$.

                                                                 $\sqrt{3-2\sqrt{3-2\sqrt{3-2\sqrt{...}}}}=1$

Saya kasih contoh lain ya...

Misalnya lagi kita pilih $a=0$ dan $b=2$, bentuk akarnya jadi seperti ini:

                                                                           $\sqrt{2\sqrt{2\sqrt{2\sqrt{...}}}}=...?$

Untuk solusinya tinggal cari 2 angka seperti tadi,
yang kalau dikalikan dapat $a=0$, dikurangkan dapat $b=2$.

Bilangan apakah itu?

Yap... $2$ dan $0$.
Dan karena tanda $b$ 'positif' ($b=2$), maka solusinya adalah $2$

                                                                           $\sqrt{2\sqrt{2\sqrt{2\sqrt{...}}}}=2$

Asik kan..?

Tapi kok bisa seperti itu ya?
ya.. bisa dong.

Caranya bagaimana?
ok.. bagi yang penasaran saya kasih tau caranya.

Check this out..

Dari bentuk umumnya, kita dapat

                                                                 $\sqrt{a+b\sqrt{a+b\sqrt{a+b\sqrt{...}}}}=x$

                          $\Rightarrow$                                       $a+b\sqrt{a+b\sqrt{a+b\sqrt{...}}}=x^{2}$

                          $\Rightarrow$                                                                              $a+bx=x^{2}$

                          $\Rightarrow$                                                                    $x^{2}-bx-a=0$

Dari persamaan terakhir ini, $x$ dapat ditentukan.
Masih ingat rumus 'kecap (ABC)' kan?

Dengan rumus kecap kita peroleh
                                                                                              $x=\frac{b+\sqrt{b^{2}+4a}}{2}$

Selanjutnya, dimisalkan $a=a_1a_2$ dan $b=a_1-a_2$ ('positif'), $a_1>a_2$.
Masukkan nilai $a$ dan $b$ ke persamaan terakhir tadi, kita dapat

                                                                                     $x=\frac{a_1-a_2+\sqrt{(a_1-a_2)^{2}+4a_1a_2}}{2}$

                                     $\Rightarrow$                                               $=\frac{a_1-a_2+\sqrt{a_1^{2}+a_2^{2}+2a_1a_2}}{2}$

                                     $\Rightarrow$                                               $=\frac{a_1-a_2+\sqrt{(a_1+a_2)^{2}}}{2}$  
                              
                                     $\Rightarrow$                                               $=\frac{a_1-a_2+(a_1+a_2)}{2}$

                                     $\Rightarrow$                                               $=\frac{2a_1}{2}$     

                                     $\Rightarrow$                                               $= a_1$

Nah...kalau $b=a_2-a_1$, maka $b$ 'negatif',
dan dengan cara yang sama di atas, nanti kita dapat
                                                                                           $x=a_2$

Jadi, sekarang sudah paham kan ya..?😁😁

Masih mau lanjut??

Ayooo... heheh....

Okey... sekarang, seperti pepatah mengatakan "Hidup itu tak selalu Indah", begitu pula dengan cara singkat ini.

Jadi, kadang kita susah untuk dapatkan 2 angka "itu".
contohnya saja

                                                                 $\sqrt{1+\sqrt{1+\sqrt{1+\sqrt{...}}}}=...?$

Gampang tidak dapatkan 2 angkanya???
Agak susah kan? heheh....

keduanya adalah $\frac{1+\sqrt{5}}{2}$ dan $\frac{2}{1+\sqrt{5}}$

Untuk megatasinya, cukup pake rumus yang berwarna ungu di atas.
Lihat nilai $a$ dan $b$ berapa, langsung deh subtitusikan ke formula.

We get...

                                                                                       $x=\frac{1+\sqrt{1^{2}+4*1}}{2}=\frac{1+\sqrt{5}}{2}$

so
                                                                $\sqrt{1+\sqrt{1+\sqrt{1+\sqrt{...}}}}=\frac{1+\sqrt{5}}{2}$
dOne...

Simple kan??😉😉😉

Ok...sekarang kita masuk ke bagian akhir ni.

Sampai saat ini yang saya bahas adalah bentuk akar yang berulang (sesuai judul).
Nah.. sekarang saya sedikit mau bahas juga yang tidak berulang.

Cekidot...

                                                             $\sqrt{1+\sqrt{1+2\sqrt{1+3\sqrt{...}}}}=...?$

Gimana.. ada yang bisa kerjakan???

Well...jawabannya adalah $2$.

Caranya bagaimana?
Coba dikerjakan dulu ya, di postingan selanjutnya saya akan kasih jawabannya.😊😊

[Postingan terkait: Cara cepat menyederhanakan bentuk Akar (soal tes TPA)]

okey... itu dulu ya yang bisa saya bagikan kali ini, semoga apa yang saya jelaskan bisa dipahami and ada manfaatnya.

See U Soon Guys.....
Thank You Very Much.


Download tulisan ini dalam bentuk PPS (Power Point Show).