Pembahasan soal latihan 1.2 No.1,4,7 dan 10: Buku "Introduction to Real Analysis" karangan R.G. Bartle edisi ke-4

Haloo semua...ketemu lagi.😉😉
Baik, pada postingan kali ini saya akan melanjutkan pembahasan penyelesaian soal pada buku "Introduction to Real Analysis" karangan Robert G. Bartle. Nah, di postingan ini saya akan membahas soal latihan 1.2  nomor 1, 4, 7, dan 10.
Berikut soalnya..

Ok, kita mulai pembahasannya.

Soal yang pertama.
Soal Nomor 1
Tunjukkan bahwa
\[\frac{1}{1\cdot 2}+\frac{1}{2\cdot 3}+\frac{1}{3\cdot 4}+...+\frac{1}{n\cdot (n+1)}=\frac{n}{n+1},\ \forall n\in \mathbb{N}\]
Solusi
$\bullet$ Pertama, akan ditunjukkan benar untuk $n=1$.
Diperhatikan bahwa untuk $n=1$ kita peroleh
\[\frac{1}{1\cdot (1+1)}=\frac{1}{1\cdot 2}=\frac{1}{2}=\frac{1}{1+1}\]Jadi, benar untuk $n=1$.

$\bullet$ Selanjutnya, diasumsikan benar untuk $n=k\in \mathbb{N}$, yaitu
\[\frac{1}{1\cdot 2}+\frac{1}{2\cdot 3}+\frac{1}{3\cdot 4}+...+\frac{1}{k\cdot (k+1)}=\frac{k}{k+1}\ \ ....(*)\]kemudian akan ditunjukkan bahwa juga benar untuk $n=k+1$, yaitu
\[\frac{1}{1\cdot 2}+\frac{1}{2\cdot 3}+\frac{1}{3\cdot 4}+...+\frac{1}{(k+1)\cdot ((k+1)+1)}=\frac{k+1}{(k+1)+1}\]Bukti.
Untuk $n=k+1$ dan dari $(*)$ diperoleh
\begin{eqnarray}
&&\frac{1}{1\cdot 2}+\frac{1}{2\cdot 3}+\frac{1}{3\cdot 4}+...+\frac{1}{(k+1)\cdot ((k+1)+1)}\\
&=&\frac{1}{1\cdot 2}+\frac{1}{2\cdot 3}+\frac{1}{3\cdot 4}+...+\frac{1}{k\cdot (k+1)}+\frac{1}{(k+1)\cdot ((k+1)+1)}\\
&=&\frac{k}{k+1}+\frac{1}{(k+1)\cdot ((k+1)+1)}\\
&=&\frac{k}{k+1}+\frac{1}{(k+1)\cdot (k+2)}\\
&=&\frac{k(k+2)+1}{(k+1)\cdot (k+2)}\\
&=&\frac{k^2+2k+1}{(k+1)\cdot (k+2)}\\
&=&\frac{(k+1)^2}{(k+1)\cdot (k+2)}\\
&=&\frac{k+1}{(k+2)}\\
&=&\frac{k+1}{((k+1)+1)}\\
\end{eqnarray}
Jadi, kita peroleh juga benar untuk $n=k+1$.
Dari uraian di atas kita simpulkan bahwa
\[\frac{1}{1\cdot 2}+\frac{1}{2\cdot 3}+\frac{1}{3\cdot 4}+...+\frac{1}{n\cdot (n+1)}=\frac{n}{n+1},\ \forall n\in \mathbb{N}\]

Soal selanjutnya.
Soal Nomor 4
Tunjukkan bahwa
\[1^2+3^2+...+(2n-1)^2=\frac{4n^3-n}{3},\ \forall n\in \mathbb{N}\]
Solusi
$\bullet$ Pertama, akan ditunjukkan benar untuk $n=1$.
Untuk $n=1$ diperoleh
\[(2\cdot 1-1)^2=1^2=1=\frac{3}{3}=\frac{4\cdot 1^3-1}{3}\]Jadi, kita peroleh benar untuk $n=1$.

$\bullet$ Selanjutnya, diasumsikan benar untuk $n=k\in \mathbb{N}$, yaitu\[1^2+3^2+...+(2k-1)^2=\frac{4k^3-k}{3}\ \ ....(*)\]kemudian akan ditunjukkan bahwa juga benar untuk $n=k+1$, yaitu
\[1^2+3^2+...+(2(k+1)-1)^2=\frac{4(k+1)^3-(k+1)}{3}\]Bukti.
Untuk $n=k+1$ dan dari $(*)$ diperoleh
\begin{eqnarray}
&&1^2+3^2+...+(2(k+1)-1)^2\\
&=&1^2+3^2+...+(2k-1)^2+(2(k+1)-1)^2\\
&=&\frac{4k^3-k}{3}+(2(k+1)-1)^2\\
&=&\frac{4k^3-k}{3}+(2k+1)^2\\
&=&\frac{4k^3-k}{3}+(4k^2+4k+1)\\
&=&\frac{(4k^3-k)+3(4k^2+4k+1)}{3}\\
&=&\frac{4k^3-k+12k^2+12k+3}{3}\\
&=&\frac{4k^3-k+12k^2+12k+4-1}{3}\\
&=&\frac{4k^3+12k^2+12k+4-k-1}{3}\\
&=&\frac{4(k^3+3k^2+3k+1)-(k+1)}{3}\\
&=&\frac{4(k+1)^3-(k+1)}{3}\\
\end{eqnarray}
Jadi, kita peroleh juga benar untuk $n=k+1$.
Dari uraian di atas kita simpulkan bahwa
\[1^2+3^2+...+(2n-1)^2=\frac{4n^3-n}{3},\ \forall n\in \mathbb{N}\]

Soal berikutnya.
Soal Nomor 7
Tunjukkan bahwa
\[8|5^{2n}-1\]\[(\text{tanda "|" artinya adalah membagi habis})\]
Solusi
$\bullet$ Pertama, akan ditunjukkan benar untuk $n=1$.
Untuk $n=1$ kita peroleh
\[5^2-1=25-1=24\]Jelas bahwa $8|24$, akibatnya
\[8|5^2-1\]Jadi, diperoleh bahwa benar untuk $n=1$.

$\bullet$ Selanjutnya, diasumsikan benar untuk $n=k\in \mathbb{N}$, yaitu
\[8|5^{2k}-1\ \ ....(*)\]kemudian akan ditunjukkan bahwa juga benar untuk $n=k+1$, yaitu
\[8|5^{2(k+1)}-1\]Bukti.
Untuk $n=k+1$ diperoleh
\begin{eqnarray}
5^{2(k+1)}-1&=&5^{2k+2}-1\\
&=&5^2\cdot 5^{2k}-1\\
&=&25\cdot 5^{2k}-1\\
&=&(24+1)\cdot 5^{2k}-1\\
&=&24\cdot 5^{2k}+(5^{2k}-1)\\
\end{eqnarray}
Karena $8$ membagi habis $24$ dan dari $(*)$, maka diperoleh
\[8|24\cdot 5^{2k}+(5^{2k}-1)=5^{2(k+1)}-1\]Jadi, kita peroleh juga benar untuk $n=k+1$.
Dari uraian di atas kita simpulkan bahwa
\[8|5^{2n}-1\]

Soal yang terakhir.
Soal Nomor 10
Berikan formula untuk jumlahan berikut
\[\frac{1}{1\cdot 3}+\frac{1}{3\cdot 5}+\frac{1}{5\cdot 7}+...+\frac{1}{(2n-1)\cdot (2n+1)}\]Kemudian, buktikan formula yang anda berikan dengan menggunakan induksi matematika.

Solusi
Formula dari jumlahan tersebut adalah
\[\frac{1}{1\cdot 3}+\frac{1}{3\cdot 5}+\frac{1}{5\cdot 7}+...+\frac{1}{(2n-1)\cdot (2n+1)}=\frac{n}{2n+1}, \forall n\in \mathbb{N}\]Bukti.
$\bullet$ Pertama, akan ditunjukkan benar untuk $n=1$.
Untuk $n=1$ diperoleh
\[\frac{1}{(2\cdot 1-1)(2\cdot 1+1)}=\frac{1}{1\cdot 3)}=\frac{1}{3)}=\frac{1}{2\cdot 1+1}\]Jadi, kita peroleh benar untuk $n=1$.

$\bullet$ Selanjutnya, diasumsikan benar untuk $n=k\in \mathbb{N}$, yaitu
\[\frac{1}{1\cdot 3}+\frac{1}{3\cdot 5}+\frac{1}{5\cdot 7}+...+\frac{1}{(2k-1)\cdot (2k+1)}=\frac{k}{2k+1}\ \ ....(*)\]kemudian akan ditunjukkan bahwa juga benar untuk $n=k+1$, yaitu
\[\frac{1}{1\cdot 3}+\frac{1}{3\cdot 5}+\frac{1}{5\cdot 7}+...+\frac{1}{(2(k+1)-1)\cdot (2(k+1)+1)}=\frac{k+1}{2(k+1)+1}\]Bukti.
Diperhatikan bahwa untuk $n=k+1$ dan dari $(*)$ kita peroleh
\begin{eqnarray}
&&\frac{1}{1\cdot 3}+\frac{1}{3\cdot 5}+\frac{1}{5\cdot 7}+...+\frac{1}{(2(k+1)-1)\cdot (2(k+1)+1)}\\
&=&\frac{1}{1\cdot 3}+\frac{1}{3\cdot 5}+\frac{1}{5\cdot 7}+...+\frac{1}{(2k-1)\cdot (2k+1)}+\frac{1}{(2(k+1)-1)\cdot (2(k+1)+1)}\\
&=&\frac{k}{2k+1}+\frac{1}{(2(k+1)-1)\cdot (2(k+1)+1)}\\
&=&\frac{k}{2k+1}+\frac{1}{(2k+1)\cdot (2(k+1)+1)}\\
&=&\frac{k(2(k+1)+1)+1}{(2k+1)\cdot (2(k+1)+1)}\\
&=&\frac{2k(k+1)+k+1}{(2k+1)\cdot (2(k+1)+1)}\\
&=&\frac{2k(k+1)+(k+1)}{(2k+1)\cdot (2(k+1)+1)}\\
&=&\frac{(2k+1)\cdot (k+1)}{(2k+1)\cdot (2(k+1)+1)}\\
&=&\frac{k+1}{2(k+1)+1}
\end{eqnarray}
Jadi, diperoleh juga benar untuk $n=k+1$.
Dari uraian di atas kita simpulkan bahwa
\[\frac{1}{1\cdot 3}+\frac{1}{3\cdot 5}+\frac{1}{5\cdot 7}+...+\frac{1}{(2n-1)\cdot (2n+1)}=\frac{n}{2n+1}, \forall n\in \mathbb{N}\]

Ok, sampai di sini saja untuk pembahasan kali ini.
Mudah-mudahan dapat dipahami dan ada manfaatnya.

Untuk melihat pembahasan nomor selanjutnya untuk latihan 1.2 ini, silahkan berkunjung ke sini, dan untuk pembahasan latihan sebelumnya (latihan 1.1) silahkan lihat di sini.

Akhir kata,
Terima kasih untuk perhatiannya
and
Sampai ketemu di postingan selanjutnya.
Wassalam....🙏🙏