Cara simple menyelesaikan soal TPA tentang 'Rataan/Rata-rata'

Halo... ketemu lagi.😊😊
Semoga saja kita semua sehat selalu ya. Aamiin...

okay.. untuk postingan kedua ini, saya akan kasih cara sederhana atau mungkin yang paling sederhana untuk menyelesaikan soal-soal TPA mengenai rataan/rata-rata.

langsung saja ya...

Berikut ini saya berikan soal-soal dan cara simple untuk menyelesaikannya.

Soal 1.
Sepuluh anak membentuk kelompok bermain yang masing-masing terdiri dari empat anak dan enam anak. Rata-rata usia kelompok empat anak adalah 6 tahun, dan kelompok enam anak adalah 6,5 tahun. Jika satu anak dari masing-masing kelompok ditukarkan, maka rata-rata usia kedua kelompok sama. Berapa tahun selisih usia kedua anak yang ditukarkan?

Solusi.
Sebelum saya kasih cara simple-nya, pertama coba kita selesaikan dengan cara biasa dulu ya.

oK..?

Diketahui dua kelompok, kita misalkan aja kelompok A dan B dengan A adalah kelompok berjumlah 4 anak, dan B adalah kelompok berjumlah 6 anak.
Diketahui juga rata-rata usia dari kelompok A adalah 6 tahun, dan B adalah 6,5 tahun.

Selanjutnya...Di soal mengatakan bahwa ada anak yang dipertukarkan dari A dan B.
Kita misalkan anak yang dipertukarkan itu masing-masing adalah $x$ dan $y$.

Sekarang...Kita akan gabungkan semua yang diketahui untuk menyelesaikan soal ini dengan menggunakan formula rata-rata berikut ini

\[\text{Rata-rata }=\frac{\text{Jumlah Data}}{\text{Banyaknya Data}}\]
atau
\[\bar{x}=\frac{\sum x_i}{n}\]
dengan,
$\bar{x}$ adalah Rata-rata data,
$\sum x_i$ adalah Jumlah seluruh data, dan
$n$ adalah  Banyaknya data

Nah, karena diketahui dalam soal bahwa rata-rata nilai dari kelompok A dan B setelah $x$ dan $y$ dipertukarkan adalah SAMA, maka dari formula di atas kita peroleh

                              $\frac{\text{Jumlah usia anak kelompok A setelah pertukaran}}{\text{Banyaknya anak kelompok A}}=\frac{\text{Jumlah usia anak kelompok B setelah pertukaran}}{\text{Banyaknya anak kelompok B}}$

$\Rightarrow$ $\frac{\text{Jumlah usia anak kelompok A sebelum pertukaran}-\text{usia }x+\text{usia }y}{\text{Banyaknya anak kelompok A}}=\frac{\text{Jumlah usia anak kelompok B sebelum pertukaran}-\text{usia }y+\text{usia }x}{\text{Banyaknya anak kelompok B}}$

Loh..kok muncul bentuk "$...-\text{usia }x+\text{usia }y$" dan "$...-\text{usia }y+\text{usia }x$"???

Ya kan $x$ dari kelompok A ditukar dengan $y$ dari kelompok B?
jadi, otomatis jumlah usia dari kelompok A setelah pertukaran itu sama dengan jumlah usia dari kelompok A sebelum pertukaran dikurangi usia si $x$ kemudian ditambahkan dengan usia si $y$, begitupun dengan kelompok B.

paham Ya??

oKay.. lanjut..

Tugas kita sekarang tinggal cari jumlah usia anak kelompok A dan B sebelum pertukaran.
Ah gampang...
tinggal pake formula rata-rata kita dapet

\[\bar{x}_A = \frac{\sum x_A}{n_A}\] \[\Rightarrow  \sum x_A = \bar{x}_A*n_A=6*4=24\]
dan

\[\bar{x}_B = \frac{\sum x_B}{n_B}\] \[\Rightarrow \sum x_B = \bar{x}_B*n_B=6,5*6=39\]
Nah, tinggal masukkan hasil ini ke persamaan sebelumnya, kita peroleh

\begin{eqnarray}
\frac{24-\text{usia }x+\text{usia }y}{4} &=& \frac{39-\text{usia }y+\text{usia }x}{6}\\
\Rightarrow 6*(24-\text{usia }x+\text{usia }y) &=& 4*(39-\text{usia }y+\text{usia }x)\\
\Rightarrow 144+6*(\text{usia }y-\text{usia }x) &=& 156-4*(\text{usia }y-\text{usia }x)\\
\Rightarrow 10*(\text{usia }y-\text{usia }x) &=& 12\\
\Rightarrow \text{usia }y-\text{usia }x &=& 1,2
\end{eqnarray}
yosh...akhirnya ketemu.😆😆

so..

jawabannya adalah 1,2.
jadi, selisih usia kedua anak tersebut adalah 1,2 tahun.

well..
cara dapatkan solusinya panjang tidak??

Tenang... sekarang saya kasih cara simple-nya.

Caranya begini...
Pertama, hitung selisih antara rata-rata usia kelompok A dan kelompok B sebelum dilakukan pertukaran.
yaitu $6,5-6=0,5$.

Selanjutnya, kalikan selisih rerata tersebut dengan jumlah anak kelompok A dan B, lalu bagi dengan jumlah keseluruhan anak.
hasilnya...
\[\frac{0,5*4*6}{10}=\frac{12}{10}=1,2\]
Done....

Simple kan??😎😎

lanjut bang....

Soal 2.
Rata-rata nilai dari 35 siswa adalah 6,5. Apabila nilai dari dua orang siswa yang belum ikut ujian dimasukkan, maka rata-ratanya berubah menjadi 6,6.
Berapa jumlah nilai dua siswa tersebut?

Solusi.
Well...seperti soal sebelumnya, kita coba kerjakan pake cara biasa dulu ya.

Nah, dari yang diketahui rata-rata nilai 35 siswa adalah 6,5,
sehingga dari formula rata-rata diperoleh

\begin{eqnarray}
\bar{x}_{35} &=& \frac{\text{Jumlah nilai 35 siswa}}{35}\\
\Rightarrow \text{Jumlah nilai 35 siswa} &=& \bar{x}_{35}*35\\
&=& 6,5*35\\
&=& 227,5
\end{eqnarray}
Selanjutnya, karena terjadi penambahan nilai dua siswa yang memberikan rata-rata baru menjadi 6,6, maka sekali lagi dari formula rata-rata diperoleh

\begin{eqnarray}
\bar{x}_{37} &=& \frac{\text{Jumlah nilai 35 siswa}+\text{Jumlah nilai dua siswa}}{37}\\
\Rightarrow 6,6 &=& \frac{\text{Jumlah nilai 35 siswa}+\text{Jumlah nilai dua siswa}}{37}
\end{eqnarray}
dari hasil sebelumnya kita telah dapatkan jumlah nilai 35 siswa adalah 227,5.
Dengan mensubtitusikan hasil ini ke persamaan terakhir,
kita dapatkan

\begin{eqnarray}
6,6 &=& \frac{\text{Jumlah nilai 35 siswa}+\text{Jumlah nilai dua siswa}}{37}\\
\Rightarrow 6,6 &=& \frac{227,5+\text{Jumlah nilai dua siswa}}{37}\\
\Rightarrow 6,6*37 &=& 227,5+\text{Jumlah nilai dua siswa}\\
\Rightarrow 244,2 &=& 227,5+\text{Jumlah nilai dua siswa}\\
\Rightarrow \text{Jumlah nilai dua siswa} &=& 244,2-227,5\\
&=& 16,7
\end{eqnarray}
Huffftt..lumayan melelahkan..😅😅

Jadi, jumlah nilai dua anak tersebut adalah 16,7.

okay..
sekarang coba kita bandingkan dengan cara simple berikut.

Pertama, kalikan jumlah siswa sebelum ada penambahan dengan selisih antara nilai rata-rata yang baru dengan nilai rata-rata yang lama.
yaitu $35*(6,6-6,5)=3,5$

kemudian, kalikan banyaknya siswa yang ditambahkan dengan rata-rata yang baru.
yaitu $2*6,6=13,2$

Terakhir,
jumlahkan kedua hasil tersebut.
kita peroleh...

\[3,5+13,2=16,7\]
Voila...
Hasilnya sama.

gampang kan?😉😉

NeXt.....

Soal 3.
Seorang siswa memperoleh nilai 91, 88, 86, dan 78 untuk empat mata pelajran. Berapa nilai yang harus diperoleh untuk mata pelajaran kelima agar dia memperoleh nilai rata-rata 85?

Solusi.
Kita mulai dari cara biasa ya.
Caranya seperti ini..

Diketahui jika ditambahkan nilai mata pelajaran kelima maka rata-rata nilai ujian siswa tersebut adalah 85, maka dengan menggunakan formula rata-rata diperoleh

\begin{eqnarray}
\bar{x}_5 &=& \frac{91+88+86+78+\text{Nilai mata pelajaran kelima}}{5}\\
\Rightarrow 85 &=& \frac{343+\text{Nilai mata pelajaran kelima}}{5}\\
\Rightarrow 85*5 &=& 343+\text{Nilai mata pelajaran kelima}\\
\Rightarrow 425 &=& 343+\text{Nilai mata pelajaran kelima}\\
\Rightarrow \text{Nilai mata pelajaran kelima} &=& 425-343\\
&=& 82
\end{eqnarray}
Jadi, nilai mata pelajaran kelima siswa tersebut adalah 82.

ok..
sekarang, kita akan memangkas beberapa step dari cara biasa diatas.
yaitu cukup dengan memakai step akhirnya seperti berikut ini..

\begin{eqnarray}
\text{Nilai mata pelajaran kelima} &=& 5*85-(91+88+86+78)\\
&=& 425-343\\
&=& 82
\end{eqnarray}

Jadi, bentuk umumnya

\[\text{Nilai mata pelajaran ke-n}= n*\text{Rata-rata}-\text{Jumlah nilai tanpa nilai ke-n}\]
Nah, bentuk yang terakhir ini sebenarnya sudah cukup pendek,
tetapi menurut hemat saya cara berikut ini masih lebih mudah.
Berikut caranya..

Jadikan semua nilai 4 mata pelajaran menjadi nilai rata-rata yang diminta,
seperti ini..

\begin{eqnarray}
91 &\rightarrow& 85 (\text{kelebihan 6})\\
88 &\rightarrow& 85 (\text{kelebihan 3})\\
86 &\rightarrow& 85 (\text{kelebihan 1})\\
78 &\rightarrow& 85 (\text{kekurangan 7})\\
\end{eqnarray}
Selanjutnya, jumlahkan semua kelebihan kemudian kurangkan dengan kekurangan,
terus hasilnya selisihkan dengan rata-ratanya.
hasilnya..

\[6+3+1-7=3 \rightarrow 85-3=82\]
Nah, hasil dari selisih inilah nilai yang dimaksud.

bagaimana?? simple yang mana??
Silahkan disesuaikan dengan selera masing-masing ya.

oK.. Lanjut.

Soal 4.
Diketahui rata-rata tinggi badan murid di suatu sekolah adalah 155 cm. Rata-rata tinggi badan anak laki-laki di sekolah tersebut adalah 165 cm, dan rata-rata tinggi badan anak perempuan adalah 151 cm.
Berapa perbandingan jumlah anak laki-laki dan anak perempuan di sekolah tersebut?

Solusi.
Kali ini langsung cara simple-nya saja ya,
biar tidak pusing liat yang panjang-panjang. hehe....

oke..
Caranya mudah.
Cukup bagi selisih antara rata-rata tinggi semua murid dan rata-rata-tinggi anak perempuan, dengan selisih antara rata-rata tinggi semua murid dan rata-rata-tinggi anak laki-laki.
yaitu..

\[\frac{155-151}{165-155}=\frac{4}{10}=\frac{2}{5}\]

Jadi, perbandingan jumlah anak laki-laki dan anak perempuan di sekolah tersebut adalah $\frac{2}{5}$.

Mudah kan?😃😃 

Untuk melihat soal-soal lain yang berkaitan dengan rataan, silahkan berkunjung ke sini.

Well..Cukup sekian dulu ya..
kalau masih ada yang belum dipahami, jangan sungkan untuk bertanya di kolom komentar.

bye..Bye...
😉😉😉

Download tulisan ini dalam bentuk PPS.