Trik menyelesaikan soal TPA tentang Median, Modus, dan Mean (rataan)

Haloo semua.... Jumpa lagi.😊😊
Sesuai judulnya, pada postingan kali ini saya akan membahas tentang TRIK menyelesaikan soal TPA yang berkaitan dengan MEDIAN, MODUS, dan MEAN (Rataan).

Seperti biasa saya akan membahas soal dan Trik untuk menyelesaikannya.
Tapi, sebelum ke contoh soal dan penyelesaiannya terlebih dahulu saya akan membahas tentang apa itu Median, Modus, dan Mean (rataan).

Baik, kita mulai dengan pengertian Median.
Median adalah nilai tengah suatu data setelah data tersebut diurutkan dari yang terkecil ke yang terbesar.

Contoh
Misalkan kita punya data seperti berikut..
\[3\ \ \ 5\ \ \ 7\ \ \ 2\ \ \ 8\ \ \ 9\ \ \ 6\ \ \ 4\ \ \ 1\]
Untuk mencari median data ini, yang pertama kita lakukan adalah mengurutkan data tersebut dari yang terkecil ke yang terbesar.
Seperti ini...
\[1\ \ \ 2\ \ \ 3\ \ \ 4\ \ \ 5\ \ \ 6\ \ \ 7\ \ \ 8\ \ \ 9\]
Setelah diurutkan seperti itu, selanjutnya kita cari nilai tengahnya.
Nah, untuk mencari nilai tengahnya ada dua kondisi yang harus diperhatikan, yaitu ketika banyaknya data Ganjil dan ketika banyaknya data Genap.

Ketika banyaknya data (kita simbolkan dengan "$n$") Ganjil, maka nilai tengahnya adalah data ke
\[\frac{n+1}{2}\]
Sedangkan ketika banyaknya data Genap, maka nilai tengahnya adalah
\[\frac{\text{data ke }(\frac{n}{2})+\text{data ke }(\frac{n}{2}+1)}{2}\]
Dari contoh di atas kita tahu bahwa banyaknya data adalah $n=9$ yang artinya Ganjil, sehingga Mediannya adalah data ke
\[\frac{n+1}{2}=\frac{9+1}{2}=5\]
dari
\[1\ \ \ 2\ \ \ 3\ \ \ 4\ \ \ 5\ \ \ 6\ \ \ 7\ \ \ 8\ \ \ 9\]
yaitu "$5$".

Contoh yang Genap bagaimana??

Ok, untuk yang Genap kita ambil saja dari contoh sebelumnya kemudian kita tambahkan satu angka.
Misal kita tambahkan angka "$10$", maka setelah diurutkan datanya menjadi
\[1\ \ \ 2\ \ \ 3\ \ \ 4\ \ \ 5\ \ \ 6\ \ \ 7\ \ \ 8\ \ \ 9\ \ \ 10\]
Sekarang, kita tinggal mencari nilai tengahnya.
Karena datanya Genap ($n=10$), maka nilai tengahnya adalah
\begin{eqnarray}
\frac{\text{data ke } (\frac{n}{2})+\text{data ke }(\frac{n}{2}+1)}{2} &=& \frac{\text{data ke } (\frac{10}{2})+\text{data ke }(\frac{10}{2}+1)}{2}\\
&=& \frac{\text{data ke }5+\text{data ke }6}{2}\\
&=& \frac{5+6}{2}\\
&=& 5,5
\end{eqnarray}
Jadi, nilai tengahnya adalah "$5,5$".

Bisa ya??
atau masih bingung??

Ok..
Supaya lebih paham, saya berikan lagi contoh ya.
Perhatikan data berikut ini
\[1\ \ \ 3\ \ \ 6\ \ \ 7\ \ \ 10\]
Banyaknya data Genap atau Ganjil??
Ganjil kan?
Karena banyaknya data Ganjil ($n=5$), maka nilai tengah data tersebut adalah data ke
\[\frac{n+1}{2}=\frac{5+1}{2}=\frac{6}{2}=3\]
dari
\[1\ \ \ 3\ \ \ 6\ \ \ 7\ \ \ 10\]
yaitu "$6$".

Untuk yang Genap, kita hilangkan saja satu angka dari data di atas.
Misal kita hilangkan angka "$10$", maka datanya menjadi
\[1\ \ \ 3\ \ \ 6\ \ \ 7\]
Karena banyaknya data Genap ($n=4$), maka nilai tengah data tersebut adalah
\begin{eqnarray}
\frac{\text{data ke } (\frac{n}{2})+\text{data ke }(\frac{n}{2}+1)}{2} &=& \frac{\text{data ke } (\frac{4}{2})+\text{data ke }(\frac{4}{2}+1)}{2}\\
&=& \frac{\text{data ke }2+\text{data ke }3}{2}\\
&=& \frac{3+6}{2}\\
&=& 4,5
\end{eqnarray}
Jadi, nilai tengahnya adalah "$4,5$".

Bagaimana??
Sudah lebih paham ya??

Ok, sekarang kita lanjut ke pengertian Modus.
Modus adalah nilai yang paling sering muncul, atau nilai yang kemunculannya paling banyak.

Contoh
Perhatikan data berikut
\[1\ \ \ 2\ \ \ 3\ \ \ 4\ \ \ 4\ \ \ 5\]
Nah, dari data ini yang paling sering muncul adalah angka "$4$", sehingga Modusnya adalah "$4$".

Gampang ya?? hehe...

Baik, kita lanjut ke yang terakhir yaitu Mean.
Mean atau biasa disebut rataan, rata-rata, ataupun rerata adalah nilai yang mewakili data.
Mewakili di sini maksudnya adalah setiap nilai dari data tersebut dapat digantikan oleh rata-ratanya tanpa merubah jumlah datanya.

Untuk mencari Mean dari suatu data dilakukan dengan membagi jumlah keseluruhan data dengan banyaknya data, yang secara matematis dituliskan sebagai berikut
\[\bar{x}=\frac{\sum{x}}{n}\]
Contoh
Misalkan saja kita ingin menghitung Mean dari data berikut
\[1\ \ \ 3\ \ \ 4\ \ \ 6\ \ \ 11\]
Dari data ini kita tahu bahwa banyaknya data adalah $n=5$, dan jumlah datanya adalah $1+3+4+6+11=25$, maka dengan formula Mean kita peroleh
\[\bar{x}=\frac{\sum{x}}{n}=\frac{25}{5}=5\]
Jadi, Mean atau rata-rata dari data tersebut adalah "$5$".

Beberapa soal dan pembahasan mengenai Mean atau rataan ini telah saya bahas secara khusus pada postingan sebelumya.
Silakan berkunjung ke sini untuk melihat postingan tersebut.

Baik, sekarang kita masuk ke pembahasan utama yaitu TRIK menyelesaikan soal TPA yang berkaitan dengan Median, Modus, dan Mean.

Soalnya seperti ini.
Diketahui suatu data terdiri dari enam ($6$) bilangan bulat positif dan memiliki Median "$5$", Modus "$4$", dan Mean "$5$". Bilangan terkecil dari data tersebut adalah??

Ok, yang bisa kita lakukan untuk menjawab soal ini adalah mencoba mengkonstruksi datanya dari apa yang diketahui.

Nah, TRIKnya adalah kita mulai bekerja dari Median.
Dari soal diketahui bahwa median dari data tersebut adalah "$5$", dan banyaknya data adalah "$6$" yang artinya genap, sehingga dengan mengikuti langkah untuk mencari median pada contoh sebelumnya kita peroleh hubungan berikut
\[5=\text{Median }=\frac{\text{data ke }(\frac{6}{2})+\text{data ke }(\frac{6}{2}+1)}{2}=\frac{\text{data ke }3+\text{data ke }4}{2}\] \[\Downarrow\] \[\text{data ke }3+\text{data ke }4=10\]
Dari hasil ini kita bisa mencari tahu berapa nilai data ke-3 dan ke-4.
Karena jumlah data ke-3 dan ke-4 adalah $10$, maka kemungkinan nilai data ke-3 dan ke-4 adalah
\[1+9=10\]\[2+8=10\]\[3+7=10\]\[4+6=10\]\[5+5=10\]
Jadi, ada lima kemungkinan untuk nilai data ke-3 dan ke-4.

Selanjutnya, kita cari tahu mana dari kelima kemungkinan tersebut yang memenuhi.
Perhatikan bahwa  tidak mungkin nilai data ke-3 dan ke-4 masing-masing adalah "$1$" dan "$9$", "$2$" dan "$8$", atau "$3$" dan "$7$".

Kenapa??

Karena dari informasi Modus kita tahu bahwa dari data tersebut ada angka "$4$".
Ingat kembali aturan untuk mencari median, langkah pertama yang dilakukan adalah mengurutkan data setelah itu baru dicari nilai tengahnya.

Nah, jika nilai data ke-3 dan ke-4 masing-masing adalah  "$1$" dan "$9$", "$2$" dan "$8$", atau "$3$" dan "$7$" maka angka "$4$" berada di mana?? kita tidak bisa meletakkan angka "$4$" di antara "$1$" dan "$9$", "$2$" dan "$8$", atau "$3$" dan "$7$" kan? karena memang tidak ada data di antara keduanya (ingat, ini data ke-3 dan ke-4, tidak ada data ke-3,5 dan seterusnya).

Kemudian, untuk nilai data ke-3 dan ke-4 adalah "$5$" dan "$5$" juga tidak memenuhi, karena kita tahu bahwa modus data ini adalah "$4$", nah jika ada dua angka "$5$" muncul di data maka karena modusnya angka "$4$" akibatnya angka empat muncul minimal tiga kali. Jika angka "$4$" muncul 3 kali dan angka "$5$" muncul 2 kali sedangkan data ke-3 dan ke-4 adalah "$5$" dan "$5$" maka kita peroleh susunan data ini sebagai berikut
\[4\ \ \ 4\ \ \ 5\ \ \ 5\ \ \ (\text{data ke}-5)\ \ \ (\text{data ke}-6)\]
Jika datanya seperti ini maka angka "$4$" yang satunya lagi kita letakkan di mana??
Kita tidak bisa meletakkan angka "$4$" yang satunya lagi di data ke-5 dan data ke-6, sebab data harus diurutkan dari yang terkecil ke yang terbesar.

Jadi, satu-satunya kemungkinan untuk nilai data ke-3 dan ke-4 masing-masing adalah "4" dan "6".
Bisa dipahami ya??

Ok, selanjutnya kita perhatikan Modus.
Karena modusnya adalah "$4$" maka kita bisa pastikan data ke-2 kita adalah "$4$" (ingat, modus artinya yang paling sering muncul, jadi minimal ada dua angka "$4$" di data tersebut).
jadi, untuk sementara kita peroleh data berikut
\[(\text{data ke}-1)\ \ \ 4\ \ \ 4\ \ \ 6\ \ \ (\text{data ke}-5)\ \ \ (\text{data ke}-6)\]
Tugas kita sekarang adalah mencari nilai data ke-1, ke-5, dan ke-6.

Selanjutnya, perhatikan Mean dari data ini.
Dari soal diketahui bahwa Mean atau rata-rata dari data tersebut adalah "$5$", akibatnya jumlah keseluruhan data adalah 30, yaitu
\[(\text{data ke}-1)+4+4+6+(\text{data ke}-5)+(\text{data ke}-6)=30\]
dari sini diperoleh
\[(\text{data ke}-1)+(\text{data ke}-5)+(\text{data ke}-6)=16\]
Selanjutnya, diperhatikan bahwa data ke-4, ke-5, dan ke-6 semuanya harus berbeda, sebab jika ada yang sama akan menyebabkan jumlah data ke-1,ke-5, dan ke-6 melebihi 16.

Contoh
Data ke-4 sama dengan data ke-5 yaitu 6.
Nah, karena ada dua angka "$6$" maka otomatis angka "$4$" harus lebih banyak (karena modusnya adalah "$4$"), yaitu minimal tiga (tetapi mengingat posisi angka "$4$" paling tinggi berada di data ke 3, maka angka "$4$" paling banyak muncul 3 kali, karena sudah tidak ada lagi tempat jika kemunculannya melebihi tiga kali).

Karena angka "$4$" maksimal muncul tiga kali, akibatnya data ke-6 harus lebih besar dari data ke-5 yaitu minimal 7, sebab jika sama ini akan memaksa angka "$4$" muncul 4 kali (karena modus), dan hal ini tidak mungkin karena bertentangan dengan kesimpulan sebelumnya.

Jadi, susunan datanya seperti berikut
\[4\ \ \ 4\ \ \ 4\ \ \ 6\ \ \ 6\ \ \ (\text{data ke}-6)\]dari sini diperoleh
\[(\text{data ke}-1)+(\text{data ke}-5)+(\text{data ke}-6)=4+6+\text{minimal }7=\text{minimal }17>16\]

Kita lanjutkan kembali.
Karena data ke-4, ke-5, dan ke-6 semuanya berbeda, maka data ke-5 minimal "$7$", dan data ke-6 minimal "$8$". Kita andaikan data ke-5 adalah "$7$" dan data ke-6 adalah "$8$".
Kita peroleh
\[(\text{data ke}-1)+(\text{data ke}-5)+(\text{data ke}-6)=16\Rightarrow (\text{data ke}-1)+7+8=16\Rightarrow \text{data ke}-1=1\]
Dari hasil ini, kita sudah mendapatkan data lengkapnya seperti berikut
\[1\ \ \ 4\ \ \ 4\ \ \ 6\ \ \ 7\ \ \ 8\]
Jadi, nilai terkecil dari data tersebut adalah "$1$".

Kira-kira kalau data ke-5 dan ke-6 bukan "$7$" dan "$8$" bisa tidak??
Jawabannya tidak bisa.
Karena jumlah data ke-5 dan ke-6 nantinya minimal "$16$".
Kalau ini terjadi maka kemungkinan nilai untuk data ke-1 paling besar adalah "$0$".
Ini tidak mungkin sebab nilai semua data yang diketahui adalah bilangan bulat postif (1, 2, 3, dst.).

Ok, sudah paham ya??
Kalau belum paham dibaca lg sj ya.
Kelihatannya memang panjang, tapi ini cuma penjelasannya saja.
Nanti jika sudah mengerti maka akan kelihatan singkat dan mudah.😉😉

Baik, itu dulu ya untuk postingan kali ini.
Mudah-mudahan dapat dipahami dan ada manfaatnya.

Terima kasih untuk perhatiannya
and
Sampai ketemu di postingan selanjutnya.
Wassalam....🙏🙏