Pembahasan soal latihan 1.1 No.1,4 dan 7: Buku "Introduction to Real Analysis" karangan R.G. Bartle edisi ke-4

Halo semua....apa kabar??
Semoga saja kita semua dalam keadaan baik ya. Aamiin...😃😃

Baik, mulai postingan ini dan selanjutnya saya akan membahas mengenai soal-soal dan solusi untuk berbagai topik dalam Matematika khususnya untuk topik-topik yang umumnya diajarkan di perguruan tinggi.

Tetapi tentu saja untuk postingan-postingan mengenai TPA dan sejenisnya masih akan tetap saya lanjutkan.

Soal-soal yang akan saya bahas nantinya kebanyakan bersumber dari buku-buku yang sudah umum digunakan pada perguruan tinggi di Indonesia, baik itu buku dari luar maupun dari dalam negeri sendiri.

Nah, di tulisan kali ini saya akan membahas beberapa soal latihan yang ada dalam buku berjudul "Introduction to Real Analysis" karangan Robert G. Bartle edisi ke-4.

Buku ini cukup populer di perguruan tinggi di Indonesia. Bahkan bisa dibilang buku ini adalah buku wajib bagi dosen ataupun mahasiswa sebagai rujukan utama dalam proses belajar-mengajar untuk mata kuliah Analisis.

Pembahasan yang akan saya berikan untuk soal-soal dalam buku ini berurutan mengikuti urutan bab-nya, yaitu dimulai dari soal pada latihan bab 1 dan seterusnya. Tetapi perlu saya tekankan bahwa tidak semua soal dalam buku ini akan saya bahas, hanya soal-soal pilihan saja yang akan saya berikan solusinya.

Ok, itu tadi sedikit pengantar mengenai pembahasan soal ini.
Sekarang mari kita mulai.
Berikut soalnya

             

Baik. kita mulai dari
Soal Nomor 1
Diketahui
\[A=\{k: k\in \mathbb{N}, k\leq 20\}=\{1,2,3,...,20\}\]\[B=\{3k-1: k\in \mathbb{N}\}=\{2,5,8,...\}\]\[C=\{2k+1: k\in \mathbb{N}\}=\{3,5,7,...\}\]

Kemudian, yang ditanyakan adalah

$(a)\ A\cap B\cap C$
$(b)\ (A\cap B)\setminus C$
$(c)\ (A\cap C)\setminus B$

Solusi
$(a)$ Diperhatikan bahwa
\begin{eqnarray}
A\cap B\cap C &=& (A\cap B)\cap C\\
&=& (\{1,2,3,...,20\}\cap \{2,5,8,...\})\cap \{3,5,7,...\}\\
&=& \{2,5,8,...,20\}\cap \{3,5,7,...\}\\
&=& \{5,11,17\}\\
&=& \{6k-1: k\in \{1,2,3\}\}
\end{eqnarray}
Jadi, $A\cap B\cap C= \{6k-1: k\in \{1,2,3\}\}$

$(b)$ Diperhatikan bahwa
\begin{eqnarray}
(A\cap B)\setminus C &=& (\{1,2,3,...,20\}\cap \{2,5,8,...\})\setminus \{3,5,7,...\}\\
&=& \{2,5,8,...,20\}\setminus \{3,5,7,...\}\\
&=& \{2,8,14,20\}\\
&=& \{6k-4: k\in \{1,2,3,4\}\}
\end{eqnarray}
Jadi, $(A\cap B)\setminus C= \{6k-4: k\in \{1,2,3,4\}\}$

$(c)$ Diperhatikan bahwa
\begin{eqnarray}
(A\cap C)\setminus B &=& (\{1,2,3,...,20\}\cap \{3,5,7,...\})\setminus \{2,5,8,...\}\\
&=& \{3,5,7,...,19\}\setminus \{2,5,8,...\}\\
&=& \{3,7,9,13,15,19\}
\end{eqnarray}
Jadi, $(A\cap C)\setminus B= \{3,7,9,13,15,19\}$

Selanjutnya,
Soal Nomor 4
Pada soal nomor 4 ini diminta untuk membuktikan hukum De Morgan bagian kedua (pada Teorema 1.1.4(b)).

Solusi
Hukum De Morgan bagian kedua:
\[A\setminus (B\cap C)=(A\setminus B)\cup (A\setminus C)\]
Untuk membuktikan hukum ini, akan ditunjukkan $[A\setminus (B\cap C)]\subseteq[(A\setminus B)\cup (A\setminus C)]$ dan $[(A\setminus B)\cup (A\setminus C)]\subseteq [A\setminus (B\cap C)]$, yaitu setiap anggota di $A\setminus (B\cap C)$ juga anggota di $(A\setminus B)\cup (A\setminus C)$, begitupun sebaliknya.

Pertama, akan ditunjukkan $[A\setminus (B\cap C)]\subseteq[(A\setminus B)\cup (A\setminus C)]$.
Diambil sebarang $x$ anggota $A\setminus (B\cap C)$, diperoleh $x$ anggota $A$ tetapi $x$ bukan anggota $(B\cap C)$, artinya $x$ anggota $A$ tetapi $x$ bukan anggota $B$ dan $C$ secara bersama-sama, akibatnya $x$ anggota $A$ tetapi $x$ bukan anggota salah satu dari keduanya ($B$ atau $C$), atau bahkan keduanya.

Dengan kata lain, $x$ anggota $A$ tetapi $x$ bukan anggota $B$, atau $x$ anggota $A$ tetapi $x$ bukan anggota $C$, yaitu $x$ anggota $(A\setminus B)$ atau $x$ anggota $(A\setminus C)$, yang artinya $x$ anggota $(A\setminus B)\cup (A\setminus C)$.
Jadi, kita peroleh bahwa $[A\setminus (B\cap C)]\subseteq[(A\setminus B)\cup (A\setminus C)]$.

Selanjutnya, akan ditunjukkan $[(A\setminus B)\cup (A\setminus C)]\subseteq [A\setminus (B\cap C)]$.
Diambil sebarang $x$ anggota $(A\setminus B)\cup (A\setminus C)$, diperoleh $x$ anggota $(A\setminus B)$ atau $x$ anggota $(A\setminus C)$, artinya $x$ anggota $A$ tetapi $x$ bukan anggota $B$, atau $x$ anggota $A$ tetapi $x$ bukan anggota $C$, akibatnya $x$ anggota $A$ tetapi $x$ bukan anggota salah satu dari $B$ atau $C$.

Karena $x$ bukan anggota salah satu dari $B$ atau $C$, artinya $x$ tidak mungkin anggota $(B\cap C)$, sehingga diperoleh $x$ anggota $A$ tetapi $x$ bukan anggota $(B\cap C)$. Dengan kata lain $x$ anggota $A\setminus (B\cap C)$.
Jadi, kita peroleh bahwa $[(A\setminus B)\cup (A\setminus C)]\subseteq [A\setminus (B\cap C)]$.

Karena kita berhasil menunjukkan $[A\setminus (B\cap C)]\subseteq[(A\setminus B)\cup (A\setminus C)]$ dan $[(A\setminus B)\cup (A\setminus C)]\subseteq [A\setminus (B\cap C)]$, itu artinya kita sudah membuktikan hukum kedua De Morgan ini.

Ok, kita beralih ke soal yang terakhir.
Soal Nomor 7
Diketahui dari soal
\[\forall n\in \mathbb{N}, A_{n}=\{(n+1)k: k\in \mathbb{N}\}\]
yang ditanyakan adalah
$(a)\ A_1\cap A_2$
$(b)\ \bigcup\limits_{n=1}^{\infty}A_n$ dan $\bigcap\limits_{n=1}^{\infty}A_n$

Solusi
$(a)$ Karena $A_1=\{2k: k\in \mathbb{N}\}$, dan $A_2=\{3k: k\in \mathbb{N}\}$, maka
\begin{eqnarray}
A_1\cap A_2 &=& \{\text{KPK }(2k,3k): k\in \mathbb{N}\}\\
&=& \{6k: k\in \mathbb{N}\}\\
&=& A_5
\end{eqnarray}
Jadi, $A_1\cap A_2 = A_5$.

$(b)$ \begin{eqnarray}
A_1=\{2k: &&k\in \mathbb{N}\}=\{2,...\}\\
A_2=\{3k: &&k\in \mathbb{N}\}=\{3,...\}\\
A_3=\{4k: &&k\in \mathbb{N}\}=\{4,...\}\\
 &.&\\
 &.&\\
 &.&\\
A_n=\{(n+1)k: &&k\in \mathbb{N}\}=\{(n+1),...\}
\end{eqnarray}
Dari uraian di atas diperoleh
\[\forall n>1, n\in A_{n-1} \text{, dan }\forall n\in \mathbb{N}, 1\notin A_n \text{ dan }n\notin A_n\]
Karena $\forall n>1, n\in A_{n-1}$, maka
\[\bigcup\limits_{n=1}^{\infty}A_n=\bigcup\limits_{n=2}^{\infty}A_{n-1}=\mathbb{N}\setminus \{1\}\]
dan karena $\forall n\in \mathbb{N}, n\notin A_n$, maka
\[\bigcap\limits_{n=1}^{\infty}A_n=\{\}=\varnothing\]
Bukti bahwa $\bigcap\limits_{n=1}^{\infty}A_n=\{\}$ menggunakan pembuktian kontradiksi seperti berikut.
Diandaikan $\bigcap\limits_{n=1}^{\infty}A_n\neq\{\}$, maka $\exists \ l\in \mathbb{N}\ni l\in A_n, \forall n$.
Dipilih $n=l$, diperoleh $l\in A_l$ (Kontradiksi dengan $n\notin A_n$).

Jadi, dari hasil di atas kita peroleh bahwa
\[\bigcup\limits_{n=1}^{\infty}A_n=\mathbb{N}\setminus \{1\}\]
dan
\[\bigcap\limits_{n=1}^{\infty}A_n=\{\}=\varnothing\]

Baik, sampai di sini saja yang bisa saya bahas di postingan kali ini.
Mudah-mudahan dapat dipahami dan ada manfaatnya.

Untuk melihat pembahasan nomor selanjutnya untuk latihan 1.1 ini, silahkan berkunjung ke sini.

Akhir kata,
Terima kasih untuk perhatiannya
and
Sampai ketemu di postingan selanjutnya.
Wassalam....🙏🙏